Расчёт в рамках ЛCDM-модели

*) Подробное описание ΛСDM-модели, приведённых выше формул и обозначений, см., например, в книге Горбунов Д.С., Рубаков В.А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва, М.:Издательство ЛКИ, 2008г.

Содержание

  1. Предположения
  2. Исходные уравнения
  3. Параметры модели
  4. Качественный анализ решений ΛСDM-модели
  5. Расчёты в рамках ΛСDM-модели
    1. 5.1. Зависимость «звёздная величина-красное смещение»
    2. 5.2. Расчёт фотометрического расстояния
    3. 5.3. Угловой размер наблюдаемых объектов
    4. 5.4. Возраст Вселенной и момент рекомбинации
  6. Изменение термодинамических параметров
  7. О выборе параметров модели
  8. Моделирование

1.Предположения

  • Вселенная однородна и изотропна

  • Космическая среда состоит из трёх компонент: нерелятивистской, релятивистской и «тёмной энергии». Параметры этих компонент обозначаем значками M, rad и Λ, соответственно. Уравнения состояния для компонент:

    (1)   \begin{equation*}  	P_M~=~0,~~~P_{rad}~=~1/3 \varepsilon_{rad},~~~P_\Lambda~=~-~\varepsilon_\Lambda, \end{equation*}

    где \varepsilon_\Lambda~=~{c^4 \Lambda}/{8 \pi G}~=~\rho_\Lambda c^2.

    Современные плотности компонент в единицах \rho_C={3~H_0^2}/{8\pi G}:

    (2)   \begin{equation*} 	\Omega_M=\rho_{M\,0}/\rho_C,~~~\Omega_{rad}=\rho_{rad\,0}/\rho_C,~~~\Omega_\Lambda={\rho_\Lambda}/{\rho_C}. \end{equation*}

    H_0=h \dot 100 км/сМпк — постоянная Хаббла.

  • Пространство Вселенной является однородной трёхмерной гиперповерхностью.

    В сопутствующей системе координат метрика четырёхмерного пространства-времени определяется формулой:

    (3)   \begin{equation*} 	ds^2=c^2\,dt^2~-~a^2(t)[d \chi^2~+~f(\chi)(d \theta^2+sin^2(\theta)~d \varphi^2)], \end{equation*}

    (4)   \begin{equation*} 	f(\chi)=(sin^2\chi,~k=+1);~(sh^2\chi,~k=-1);~(\chi^2,~k=0). \end{equation*}

    При k=+1, Вселенная замкнутая и имеет конечный объём. Если k=-1, то она является открытой. При k=0, Вселенная плоская и безграничная. Изменение масштаба Вселенной описывается функцией a(t).

2.Исходные уравнения

В основе ΛСDM-модели лежат модифицированные уравнения ОТО:

(5)   \begin{equation*} 	R_i^k~-~1/2\,R \delta_i^k=~{8 \pi G}/{c^4}(T_{i~M}^k+T_{i~rad}^k)~+~\Lambda \delta_i^k, \end{equation*}

где Λ — космологическая постоянная.

С учётом сделанных в пункте 1. предположений, уравнения (6) принимают вид космологических уравнений Фридмана:

(6)   \begin{equation*} 	(1/{\overline{a}}\,{d \overline{a}}/{d \tau})^2=~-k~\Omega_{curv}\overline{a}^{~-2}+~\Omega_M \overline{a}^{~-3}+~\Omega_{rad}\overline{a}^{~-4}+~\Omega_\Lambda, \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} 	{d^2\overline{a}}/{d \tau^2}=~-{\Omega_M}/{2\overline{a}^{~2}}~-~{\Omega_{rad}}/{\overline{a}^{~3}}+~\Omega_\Lambda \overline{a}, \end{equation*}

где, \overline{a}=a/a_0, \tau=t\dot H_0, a_0-масштаб современной Вселенной, H^{-1}_{0}-удобная единица измерения времени в космологии.
Параметр \Omega_{curv}={c^2}/{a^2_0H^2_0} определяет соотношение масштабов длины c\dot H^{-1}_0 и a_0.

Уравнения (6), (7) решаем с граничными условиями:

(8)   \begin{equation*}  	\overline{a}(0)=1,~~~({d \overline{a}}/{d \tau})(0)=1. \end{equation*}

В расчётах полагаем, что современной Вселенной соответствует момент времени t=0.

3.Параметры модели

Параметрами ΛСDM-модели являются:

(9)   \begin{equation*} 	\Omega_M,~\Omega_{rad},~\Omega_{curv},~\Omega_\Lambda,~h,~k. \end{equation*}

Вследствие (6) и (8) они связаны соотношением:

(10)   \begin{equation*} 	-k~\Omega_{curv}+~\Omega_M +~\Omega_{rad}+~\Omega_\Lambda=~1. \end{equation*}

4. Качественный анализ решений ΛСDM-модели

Уравнение (7) записываем в виде:

(11)   \begin{equation*} 	{d^2 a}/{d t^2}~=~-{dU_\Lambda}/{da}, \end{equation*}

где

(12)   \begin{equation*} 	U_\Lambda(a)~=~-\tau_M/a~-\tau_{rad}/{2~a^2}~-~1/6 \Lambda c^2 a^2. \end{equation*}

Постоянные \tau_M и \tau_{rad} определяются формулами:

(13)   \begin{equation*} 	\tau_M=4/3\pi G \rho_{M,0}a_0^3,~~~\tau_{rad}=8/3 \pi G \rho_{rad,0} a_0^4. \end{equation*}

Решения уравнений (11) определяются видом функции U_\Lambda(a) и значением «энергии» E. «Энергия» E является первым интегралом уравнения (11). С учётом (6),

(14)   \begin{equation*} 	E~=~-1/2kc^2 . \end{equation*}

На рис.1 схематично изображены графики функции U_\Lambda(a).
Приведены уровни энергии E, соответствующие качественно отличающимся друг от друга решениям уравнения (11).
Схематично эти решения изображены на рис.2.

   
Рис.1. График функции U_\Lambda(\overline{a}) Рис.2. Качественно отличающиеся друг от друга решения уравнения (12).

5. Расчёты в рамках ΛСDM-модели

5.1. Зависимость «звёздная величина-красное смещение»

Формула, описывающая эту зависимость в ΛСDM-модели имеет вид:

(15)   \begin{equation*} 	(m-M)_\Lambda(z)~=~5~lg[(1+z)\overline{r}_\Lambda(z)]+5~lg({cH^{-1}_0}/{l_0}), \end{equation*}

где

\overline{r}(z)={r(z)}/{cH^{-1}_0},~~m=~-2.5~\lg{E}+const,~~M=~-2.5~\lg{E_1}+const,

(16)   \begin{equation*} 	E=L/{4 \pi r^2(z)(1+z)^2},~~E_1=L/{4 \pi l_0^2}, \end{equation*}

L-абсолютная светимость наблюдаемого объекта, имеющего красное смещение z; r(z) — фотометрическое расстояние до этого объекта; l_0=10 пк.

5.2. Расчёт фотометрического расстояния

Формула, определяющая фотометрическое расстояние \overline{r}(z) в ΛСDM-модели имеет вид:

(17)   \begin{equation*} 	\overline{r}_\Lambda(z)~=~\frac{1}{\sqrt{\Omega_{curv}}} \sinh{ \int_1^{z+1}{\frac{\sqrt{\Omega_{curv}}~dx}{\sqrt{-~k~\Omega_{curv}x^2+\Omega_M x^3+\Omega_{rad}x^4+\Omega_\Lambda }}}}. \end{equation*}

Вселенную считаем открытой. Расчёты показывают, что ΛСDM-модель в которой предполагается, что Вселенная является закрытой не описывает правильно наблюдения.

5.3. Угловой размер наблюдаемых объектов

Угловой размер наблюдаемого объекта (в радианах), имеющего красное смещение z и линейный размер d рассчитываем по формуле:

(18)   \begin{equation*} 	\Delta \theta~=~{d(1+z)}/{r(z)}. \end{equation*}

При расчётах угла между центрами ярких пятен на равномерном фоне реликтового излучения считаем, что

(19)   \begin{equation*} 	d~=~2~c~t_{rec},~~~z=z_{rec}, \end{equation*}

где t_{rec} — возраст Вселенной на момент рекомбинации.

Учитывая (20), угол \Delta \theta (в градусах), между центрами соседних ярких пятен на однородном фоне реликтового излучения рассчитываем по формуле:

(20)   \begin{equation*} 	\Delta \theta~=~{360}/{\pi}{(z_{rec}+1)\tau_{rec}}/{\overline{r}(z_{rec})}. \end{equation*}

5.4. Возраст Вселенной и момент рекомбинации

Решая уравнения (7) с граничными условиями (8) находим \overline{a}_\Lambda(\tau). Из равенств \overline{a}(- \tau_0)=0 и \overline{a}(\tau_{rec}~-~\tau_0)=(1+z_{rec})^{-1} находим возраст Вселенной \tau_0 и момент рекомбинации \tau_{rec}. Здесь z_{rec} — красное смещение на момент рекомбинации. Обычно, в расчётах полагают, что z_{rec}=1000.

6. Изменение термодинамических параметров

При расширении Вселенной плотности \rho_M и \rho_{rad} связанны с радиусом кривизны a(t) соотношениями:

(21)   \begin{equation*} 	\rho_M a^3=const,~~~\rho_{rad}a^4=const. \end{equation*}

Плотность энергии релятивистской компоненты, в предположении, что она состоит из фотонов и трёх типов нейтрино, можно записать в виде:

(22)   \begin{equation*} 	\varepsilon_{rad}~=~1.68~\sigma~T^4, \end{equation*}

где постоянная Стефана-Больцмана

(23)   \begin{equation*} 	\sigma~=~{\pi^2k{{}_B}^4}/{15~c^3 \hbar^3}, \end{equation*}

k_B и hbar постоянная Больцмана и Планка, соответственно.

Изменение температуры релятивистской компоненты космической среды T описывается уравнением:

(24)   \begin{equation*} 	T~a~=~const. \end{equation*}

7. О выборе параметров ΛCDM-модели

  1. Значение постоянной Хаббла h \approx 0.7. Значение параметра \Omega_M \approx 0.27. Расчёты со значениями h и \Omega_M, заметно отличающихся от приведённых, не согласуются с наблюдениями.

  2. Считая, что релятивистская компонента космической среды состоит из реликтового излучения и трёх видов нейтрино, параметр \Omega_{rad} рассчитываем по формуле:

    (25)   \begin{equation*} 	\Omega_{rad}=~{0.42}/{h^2}10^{-5}. \end{equation*}

  3. Значение параметра k необходимо брать равным минус единице. При k=0,+1 расчёты не согласуются с наблюдениями.

  4. Используется предположение о «плоскостности» пространства. В расчётах считается, что \Omega_{curv}=0.
    Предсказания \Lambda CDM-модели с \Omega_{curv} заметно отличающегося от нуля противоречат наблюдениям.

8. Моделирование

Вам предоставляется возможность изменяя значения параметров \Omega_M, h, k и z_{rec} видеть, как при этом меняется вид
функций (m-M)_C(z), \overline{a}(\tau), {\overline{a}}\over{.}(\tau), {\overline{a}}\over{..}(\tau), T(\tau),
а также расчётные значения величин t_0, t_{rec} и угла \Delta \theta.

*Если апплет не запускается, прочтите инструкцию по настройке безопасности Java.