Расчёт в рамках ЛCDM-модели
*) Подробное описание ΛСDM-модели, приведённых выше формул и обозначений, см., например, в книге Горбунов Д.С., Рубаков В.А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва, М.:Издательство ЛКИ, 2008г.
Содержание
- Предположения
- Исходные уравнения
- Параметры модели
- Качественный анализ решений ΛСDM-модели
- Расчёты в рамках ΛСDM-модели
- Изменение термодинамических параметров
- О выборе параметров модели
- Моделирование
1.Предположения
-
Вселенная однородна и изотропна
-
Космическая среда состоит из трёх компонент: нерелятивистской, релятивистской и «тёмной энергии». Параметры этих компонент обозначаем значками M, rad и Λ, соответственно. Уравнения состояния для компонент:
(1)
где
.
Современные плотности компонент в единицах
:
(2)
км/сМпк — постоянная Хаббла.
-
Пространство Вселенной является однородной трёхмерной гиперповерхностью.
В сопутствующей системе координат метрика четырёхмерного пространства-времени определяется формулой:
(3)
(4)
При
, Вселенная замкнутая и имеет конечный объём. Если
, то она является открытой. При
, Вселенная плоская и безграничная. Изменение масштаба Вселенной описывается функцией
.
2.Исходные уравнения
В основе ΛСDM-модели лежат модифицированные уравнения ОТО:
(5)
где Λ — космологическая постоянная.
С учётом сделанных в пункте 1. предположений, уравнения (6) принимают вид космологических уравнений Фридмана:
(6)
(7)
где, ,
,
-масштаб современной Вселенной,
-удобная единица измерения времени в космологии.
Параметр определяет соотношение масштабов длины
и
.
Уравнения (6), (7) решаем с граничными условиями:
(8)
В расчётах полагаем, что современной Вселенной соответствует момент времени .
3.Параметры модели
Параметрами ΛСDM-модели являются:
(9)
Вследствие (6) и (8) они связаны соотношением:
(10)
4. Качественный анализ решений ΛСDM-модели
Уравнение (7) записываем в виде:
(11)
где
(12)
Постоянные и
определяются формулами:
(13)
Решения уравнений (11) определяются видом функции и значением «энергии»
. «Энергия»
является первым интегралом уравнения (11). С учётом (6),
(14)
На рис.1 схематично изображены графики функции .
Приведены уровни энергии , соответствующие качественно отличающимся друг от друга решениям уравнения (11).
Схематично эти решения изображены на рис.2.
![]() |
![]() |
Рис.1. График функции ![]() |
Рис.2. Качественно отличающиеся друг от друга решения уравнения (12). |
5. Расчёты в рамках ΛСDM-модели
5.1. Зависимость «звёздная величина-красное смещение»
Формула, описывающая эту зависимость в ΛСDM-модели имеет вид:
(15)
где

(16)
-абсолютная светимость наблюдаемого объекта, имеющего красное смещение
;
— фотометрическое расстояние до этого объекта;
пк.
5.2. Расчёт фотометрического расстояния
Формула, определяющая фотометрическое расстояние в ΛСDM-модели имеет вид:
(17)
Вселенную считаем открытой. Расчёты показывают, что ΛСDM-модель в которой предполагается, что Вселенная является закрытой не описывает правильно наблюдения.
5.3. Угловой размер наблюдаемых объектов
Угловой размер наблюдаемого объекта (в радианах), имеющего красное смещение и линейный размер
рассчитываем по формуле:
(18)
При расчётах угла между центрами ярких пятен на равномерном фоне реликтового излучения считаем, что
(19)
где — возраст Вселенной на момент рекомбинации.
Учитывая (20), угол (в градусах), между центрами соседних ярких пятен на однородном фоне реликтового излучения рассчитываем по формуле:
(20)
5.4. Возраст Вселенной и момент рекомбинации
Решая уравнения (7) с граничными условиями (8) находим . Из равенств
и
находим возраст Вселенной
и момент рекомбинации
. Здесь
— красное смещение на момент рекомбинации. Обычно, в расчётах полагают, что
.
6. Изменение термодинамических параметров
При расширении Вселенной плотности и
связанны с радиусом кривизны
соотношениями:
(21)
Плотность энергии релятивистской компоненты, в предположении, что она состоит из фотонов и трёх типов нейтрино, можно записать в виде:
(22)
где постоянная Стефана-Больцмана
(23)
и
постоянная Больцмана и Планка, соответственно.
Изменение температуры релятивистской компоненты космической среды описывается уравнением:
(24)
7. О выборе параметров ΛCDM-модели
-
Значение постоянной Хаббла
. Значение параметра
. Расчёты со значениями
и
, заметно отличающихся от приведённых, не согласуются с наблюдениями.
-
Считая, что релятивистская компонента космической среды состоит из реликтового излучения и трёх видов нейтрино, параметр
рассчитываем по формуле:
(25) 
-
Значение параметра
необходимо брать равным минус единице. При
расчёты не согласуются с наблюдениями.
-
Используется предположение о «плоскостности» пространства. В расчётах считается, что
.
Предсказания
-модели с
заметно отличающегося от нуля противоречат наблюдениям.
Значение постоянной Хаббла . Значение параметра
. Расчёты со значениями
и
, заметно отличающихся от приведённых, не согласуются с наблюдениями.
Считая, что релятивистская компонента космической среды состоит из реликтового излучения и трёх видов нейтрино, параметр рассчитываем по формуле:
(25)
Значение параметра необходимо брать равным минус единице. При
расчёты не согласуются с наблюдениями.
Используется предположение о «плоскостности» пространства. В расчётах считается, что .
Предсказания -модели с
заметно отличающегося от нуля противоречат наблюдениям.
8. Моделирование
Вам предоставляется возможность изменяя значения параметров ,
,
и
видеть, как при этом меняется вид
функций ,
,
,
,
,
а также расчётные значения величин ,
и угла
.
*Если апплет не запускается, прочтите инструкцию по настройке безопасности Java. |