Расчёт в рамках ЛCDM-модели — Космология и гравитация

*) Подробное описание ΛСDM-модели, приведённых выше формул и обозначений, см., например, в книге Горбунов Д.С., Рубаков В.А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва, М.:Издательство ЛКИ, 2008г.

Содержание

Предположения
Исходные уравнения
Параметры модели
Качественный анализ решений ΛСDM-модели
Расчёты в рамках ΛСDM-модели
Изменение термодинамических параметров
О выборе параметров модели
Моделирование

1.Предположения

Вселенная однородна и изотропна
Космическая среда состоит из трёх компонент: нерелятивистской, релятивистской и «тёмной энергии». Параметры этих компонент обозначаем значками M, rad и Λ, соответственно. Уравнения состояния для компонент:

(1) $\begin{equation*} P_M~=~0,~~~P_{rad}~=~1/3 \varepsilon_{rad},~~~P_\Lambda~=~-~\varepsilon_\Lambda, \end{equation*}$

где $\varepsilon_\Lambda~=~{c^4 \Lambda}/{8 \pi G}~=~\rho_\Lambda c^2$ .

Современные плотности компонент в единицах $\rho_C={3~H_0^2}/{8\pi G}$ :

(2) $\begin{equation*} \Omega_M=\rho_{M\,0}/\rho_C,~~~\Omega_{rad}=\rho_{rad\,0}/\rho_C,~~~\Omega_\Lambda={\rho_\Lambda}/{\rho_C}. \end{equation*}$

$H_0=h \dot 100$ км/сМпк — постоянная Хаббла.
Пространство Вселенной является однородной трёхмерной гиперповерхностью.

В сопутствующей системе координат метрика четырёхмерного пространства-времени определяется формулой:

(3) $\begin{equation*} ds^2=c^2\,dt^2~-~a^2(t)[d \chi^2~+~f(\chi)(d \theta^2+sin^2(\theta)~d \varphi^2)], \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} f(\chi)=(sin^2\chi,~k=+1);~(sh^2\chi,~k=-1);~(\chi^2,~k=0). \end{equation*}$

При $k=+1$ , Вселенная замкнутая и имеет конечный объём. Если $k=-1$ , то она является открытой. При $k=0$ , Вселенная плоская и безграничная. Изменение масштаба Вселенной описывается функцией $a(t)$ .

2.Исходные уравнения

В основе ΛСDM-модели лежат модифицированные уравнения ОТО:

(5) $\begin{equation*} R_i^k~-~1/2\,R \delta_i^k=~{8 \pi G}/{c^4}(T_{i~M}^k+T_{i~rad}^k)~+~\Lambda \delta_i^k, \end{equation*}$

где Λ — космологическая постоянная.

С учётом сделанных в пункте 1. предположений, уравнения (6) принимают вид космологических уравнений Фридмана:

(6) $\begin{equation*} (1/{\overline{a}}\,{d \overline{a}}/{d \tau})^2=~-k~\Omega_{curv}\overline{a}^{~-2}+~\Omega_M \overline{a}^{~-3}+~\Omega_{rad}\overline{a}^{~-4}+~\Omega_\Lambda, \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} {d^2\overline{a}}/{d \tau^2}=~-{\Omega_M}/{2\overline{a}^{~2}}~-~{\Omega_{rad}}/{\overline{a}^{~3}}+~\Omega_\Lambda \overline{a}, \end{equation*}$

где, $\overline{a}=a/a_0$ , $\tau=t\dot H_0$ , $a_0$ -масштаб современной Вселенной, $H^{-1}_{0}$ -удобная единица измерения времени в космологии.
Параметр $\Omega_{curv}={c^2}/{a^2_0H^2_0}$ определяет соотношение масштабов длины $c\dot H^{-1}_0$ и $a_0$ .

Уравнения (6), (7) решаем с граничными условиями:

(8) $\begin{equation*} \overline{a}(0)=1,~~~({d \overline{a}}/{d \tau})(0)=1. \end{equation*}$

В расчётах полагаем, что современной Вселенной соответствует момент времени $t=0$ .

3.Параметры модели

Параметрами ΛСDM-модели являются:

(9) $\begin{equation*} \Omega_M,~\Omega_{rad},~\Omega_{curv},~\Omega_\Lambda,~h,~k. \end{equation*}$

Вследствие (6) и (8) они связаны соотношением:

(10) $\begin{equation*} -k~\Omega_{curv}+~\Omega_M +~\Omega_{rad}+~\Omega_\Lambda=~1. \end{equation*}$

4. Качественный анализ решений ΛСDM-модели

Уравнение (7) записываем в виде:

(11) $\begin{equation*} {d^2 a}/{d t^2}~=~-{dU_\Lambda}/{da}, \end{equation*}$

где

(12) $\begin{equation*} U_\Lambda(a)~=~-\tau_M/a~-\tau_{rad}/{2~a^2}~-~1/6 \Lambda c^2 a^2. \end{equation*}$

Постоянные $\tau_M$ и $\tau_{rad}$ определяются формулами:

(13) $\begin{equation*} \tau_M=4/3\pi G \rho_{M,0}a_0^3,~~~\tau_{rad}=8/3 \pi G \rho_{rad,0} a_0^4. \end{equation*}$

Решения уравнений (11) определяются видом функции $U_\Lambda(a)$ и значением «энергии» $E$ . «Энергия» $E$ является первым интегралом уравнения (11). С учётом (6),

(14) $\begin{equation*} E~=~-1/2kc^2 . \end{equation*}$

На рис.1 схематично изображены графики функции $U_\Lambda(a)$ .
Приведены уровни энергии $E$ , соответствующие качественно отличающимся друг от друга решениям уравнения (11).
Схематично эти решения изображены на рис.2.



Рис.1. График функции $U_\Lambda(\overline{a})$	Рис.2. Качественно отличающиеся друг от друга решения уравнения (12).

5. Расчёты в рамках ΛСDM-модели

5.1. Зависимость «звёздная величина-красное смещение»

Формула, описывающая эту зависимость в ΛСDM-модели имеет вид:

(15) $\begin{equation*} (m-M)_\Lambda(z)~=~5~lg[(1+z)\overline{r}_\Lambda(z)]+5~lg({cH^{-1}_0}/{l_0}), \end{equation*}$

где

$\overline{r}(z)={r(z)}/{cH^{-1}_0},~~m=~-2.5~\lg{E}+const,~~M=~-2.5~\lg{E_1}+const,$

(16) $\begin{equation*} E=L/{4 \pi r^2(z)(1+z)^2},~~E_1=L/{4 \pi l_0^2}, \end{equation*}$

$L$ -абсолютная светимость наблюдаемого объекта, имеющего красное смещение $z$ ; $r(z)$ — фотометрическое расстояние до этого объекта; $l_0=10$ пк.

5.2. Расчёт фотометрического расстояния

Формула, определяющая фотометрическое расстояние $\overline{r}(z)$ в ΛСDM-модели имеет вид:

(17) $\begin{equation*} \overline{r}_\Lambda(z)~=~\frac{1}{\sqrt{\Omega_{curv}}} \sinh{ \int_1^{z+1}{\frac{\sqrt{\Omega_{curv}}~dx}{\sqrt{-~k~\Omega_{curv}x^2+\Omega_M x^3+\Omega_{rad}x^4+\Omega_\Lambda }}}}. \end{equation*}$

Вселенную считаем открытой. Расчёты показывают, что ΛСDM-модель в которой предполагается, что Вселенная является закрытой не описывает правильно наблюдения.

5.3. Угловой размер наблюдаемых объектов

Угловой размер наблюдаемого объекта (в радианах), имеющего красное смещение $z$ и линейный размер $d$ рассчитываем по формуле:

(18) $\begin{equation*} \Delta \theta~=~{d(1+z)}/{r(z)}. \end{equation*}$

При расчётах угла между центрами ярких пятен на равномерном фоне реликтового излучения считаем, что

(19) $\begin{equation*} d~=~2~c~t_{rec},~~~z=z_{rec}, \end{equation*}$

где $t_{rec}$ — возраст Вселенной на момент рекомбинации.

Учитывая (20), угол $\Delta \theta$ (в градусах), между центрами соседних ярких пятен на однородном фоне реликтового излучения рассчитываем по формуле:

(20) $\begin{equation*} \Delta \theta~=~{360}/{\pi}{(z_{rec}+1)\tau_{rec}}/{\overline{r}(z_{rec})}. \end{equation*}$

5.4. Возраст Вселенной и момент рекомбинации

Решая уравнения (7) с граничными условиями (8) находим $\overline{a}_\Lambda(\tau)$ . Из равенств $\overline{a}(- \tau_0)=0$ и $\overline{a}(\tau_{rec}~-~\tau_0)=(1+z_{rec})^{-1}$ находим возраст Вселенной $\tau_0$ и момент рекомбинации $\tau_{rec}$ . Здесь $z_{rec}$ — красное смещение на момент рекомбинации. Обычно, в расчётах полагают, что $z_{rec}=1000$ .

6. Изменение термодинамических параметров

При расширении Вселенной плотности $\rho_M$ и $\rho_{rad}$ связанны с радиусом кривизны $a(t)$ соотношениями:

(21) $\begin{equation*} \rho_M a^3=const,~~~\rho_{rad}a^4=const. \end{equation*}$

Плотность энергии релятивистской компоненты, в предположении, что она состоит из фотонов и трёх типов нейтрино, можно записать в виде:

(22) $\begin{equation*} \varepsilon_{rad}~=~1.68~\sigma~T^4, \end{equation*}$

где постоянная Стефана-Больцмана

(23) $\begin{equation*} \sigma~=~{\pi^2k{{}_B}^4}/{15~c^3 \hbar^3}, \end{equation*}$

$k_B$ и $hbar$ постоянная Больцмана и Планка, соответственно.

Изменение температуры релятивистской компоненты космической среды $T$ описывается уравнением:

(24) $\begin{equation*} T~a~=~const. \end{equation*}$

7. О выборе параметров ΛCDM-модели

Значение постоянной Хаббла $h \approx 0.7$ . Значение параметра $\Omega_M \approx 0.27$ . Расчёты со значениями $h$ и $\Omega_M$ , заметно отличающихся от приведённых, не согласуются с наблюдениями.
Считая, что релятивистская компонента космической среды состоит из реликтового излучения и трёх видов нейтрино, параметр $\Omega_{rad}$ рассчитываем по формуле:

(25) $\begin{equation*} \Omega_{rad}=~{0.42}/{h^2}10^{-5}. \end{equation*}$
Значение параметра $k$ необходимо брать равным минус единице. При $k=0,+1$ расчёты не согласуются с наблюдениями.
Используется предположение о «плоскостности» пространства. В расчётах считается, что $\Omega_{curv}=0$ .
Предсказания $\Lambda CDM$ -модели с $\Omega_{curv}$ заметно отличающегося от нуля противоречат наблюдениям.

8. Моделирование

Вам предоставляется возможность изменяя значения параметров $\Omega_M$ , $h$ , $k$ и $z_{rec}$ видеть, как при этом меняется вид
функций $(m-M)_C(z)$ , $\overline{a}(\tau)$ , ${\overline{a}}\over{.}(\tau)$ , ${\overline{a}}\over{..}(\tau)$ , $T(\tau)$ ,
а также расчётные значения величин $t_0$ , $t_{rec}$ и угла $\Delta \theta$ .

^*Если апплет не запускается, прочтите инструкцию по настройке безопасности Java.